Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，Sn=

a1(1-qn)

1-q

(a1，q∈R，a1≠0，q≠1)．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若q∈N^*，是否存在q的某些取值，使數(shù)列{a_n}中某一項(xiàng)能表示為另外三項(xiàng)之和？若能求出q的全部取值集合，若不能說(shuō)明理由．
（3）若q∈R，是否存在q∈[3，+∞），使數(shù)列{a_n}中，某一項(xiàng)可以表示為另外三項(xiàng)之和？若存在指出q的一個(gè)取值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用公式a_n=

a1               n=1 Sn-Sn-1    n≥2

進(jìn)行討論，然后綜合可得a_n的通項(xiàng)公式，從而證出數(shù)列{a_n}是公比為q等比數(shù)列．
（2）假設(shè)存在滿足條件的一項(xiàng)能表示為另外三項(xiàng)之和，設(shè)an4=an3+an2+an1，經(jīng)過(guò)討論可變形為qn4-n1-qn3-n1-qn2-n1=1，根據(jù)等式兩邊對(duì)q的整除性，可知等式不成立，從而得到不存在滿足條件的q值．
（3）用類(lèi)似（2）的方法，設(shè)an4=an3+an2+an1，結(jié)合{a_n}的通項(xiàng)公式和q≥3，利用不等式的性質(zhì)證明出qn4＞qn3+qn2+qn1恒成立，從而證出等式不成立，從而得到不存在滿足條件的q值．

解答：解：（1）n=1時(shí)，a₁=S₁=a，
n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

a

1-q

(qn-qn-1)=aqn-1
∵n=1時(shí)，a₁=a=aq^1-1也符合
∴an=aqn-1(n∈N+)，可得

an+1

an

=q，即數(shù)列{a_n}是公比為q等比數(shù)列．
（2）設(shè)存在某一項(xiàng)，它能表示為另外三項(xiàng)之和，即an4=an3+an2+an1，
則qn4=qn3+qn2+qn1(q∈N，q≥2)，
易得n₄是n₁、n₂、n₃、n₄中的最大值，不妨設(shè)n₄＞n₃＞n₂＞n₁，
兩邊同除以qn1，整理得：qn4-n1-qn3-n1-qn2-n1=1
因?yàn)樽筮吥鼙籷整除，右邊不能被q整除，因此滿足條件的q不存在．
∴不存在q的某些取值，使數(shù)列{a_n}中某一項(xiàng)能表示為另外三項(xiàng)之和
（3）若an4=an3+an2+an1則qn4=qn3+qn2+qn1(q∈R，q≥3)
易得n₄是n₁、n₂、n₃、n₄中的最大值，不妨設(shè)n₄＞n₃＞n₂＞n₁，
∵q≥3，qn4=q•qn4-1≥3qn4-1≥3qn3＞qn3+qn2+qn1，
∴an4=an3+an2+an1不成立．
因此，不存在q∈[3，+∞），使數(shù)列{a_n}中，某一項(xiàng)可以表示為另外三項(xiàng)之和．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等比數(shù)列，要我們探索能否存在一項(xiàng)使它等于另外三項(xiàng)的和，著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和不等式的基本性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．