Question

（選做題）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-2n（n∈N₊），則a_n=（　　）

A、a_n=2ⁿ⁺¹-2

B、a_n=2ⁿ⁺¹

C、a_n=2ⁿ-2

D、a_n=2ⁿ

Answer 1

分析：當n=1 時，S₁=2a₁-2，則a₁=2，當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），故a_n=2a_n-1+2，證明{a_n+2}是以a₁+2為首項，以2為公比的等比數列，即可求出數列{a_n}的通項公式a_n．

解答：解：∵當n∈N^*時，S_n=2a_n-2n，①
∴當n=1時，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
則當n≥2，n∈N^*時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴

an+2

an-1+2

=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2為首項，以2為公比的等比數列．
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
故選A．

點評：本題考查等比數列的證明和求數列{a_n}的通項公式a_n，確定{a_n+2}是以a₁+2為首項，以2為公比的等比數列是關鍵．