Question

對(duì)于實(shí)數(shù)x，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)f（x）=[x]稱為高斯函數(shù)或取整函數(shù)．若a_n=f（

n

3

），n∈N^*，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S_3n=

 

．

Answer 1

分析：先推導(dǎo)a1=f(

1

3

)=[

1

3

]=0，a2=f(

2

3

)=[

2

3

]=0，a3=f(

3

3

)=[

3

3

]=1，a4=f(

4

3

)=[

4

3

]=1，a5=f(

5

3

)=[

5

3

]=1，a6=f(

6

3

)=[

6

3

]=2，a7=f(

7

3

)=[

7

3

]=2，，a3n=f(

3n

3

)=[

3n

3

]=n，所以最終結(jié)果為S_3n=3[0+1+2++（n-1）]+n．

解答：解：∵a1=f(

1

3

)=[

1

3

]=0，
a2=f(

2

3

)=[

2

3

]=0，
a3=f(

3

3

)=[

3

3

]=1，
a4=f(

4

3

)=[

4

3

]=1，
a5=f(

5

3

)=[

5

3

]=1，
a6=f(

6

3

)=[

6

3

]=2，
a7=f(

7

3

)=[

7

3

]=2，
…
a3n=f(

3n

3

)=[

3n

3

]=n，
∴S_3n=3[0+1+2+…+（n-1）]+n=

1

2

(3n2-n)（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要涉及了數(shù)列的推導(dǎo)與歸納，同時(shí)，又是新定義題，應(yīng)熟悉定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知去解決．