Question

已知數(shù)列{a_n}中各項(xiàng)為：12、1122、111222、

11…1

個n

22…2

n個

（1）證明這個數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個相鄰整數(shù)的積．
（2）求這個數(shù)列前n項(xiàng)之和S_n．

Answer 1

分析：（1）觀察規(guī)律，可得通項(xiàng)公式a_n=

1

9

（10ⁿ-1）•10ⁿ+

2

9

（10ⁿ-1）=（

10n-1

3

）（

10n-1

3

+1）
由冪的運(yùn)算性質(zhì)可知

10n-1

3

為整數(shù)，從而可得（

10n-1

3

）（

10n-1

3

+1）為整數(shù)．
（2）由（1）可知a_n=

1

9

×10²ⁿ+

1

9

×10ⁿ-

2

9

，利用分組求和，分別利用等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式即可

解答：解：（1）a_n=

1

9

（10ⁿ-1）•10ⁿ+

2

9

（10ⁿ-1）（2分）
=

1

9

（10ⁿ-1）（10ⁿ+2）=（

10n-1

3

）（

10n-1

3

+1）（4分）
記：A=

10n-1

3

，則A=

33…3

n個

為整數(shù)
∴a_n=A（A+1），得證（6分）
（2）∵a_n=

1

9

10²ⁿ+

1

9

10ⁿ-

2

9

（8分）
S_n=

1

9

（10²+10⁴+…+10²ⁿ）+

1

9

（10+10²+…+10ⁿ）-

2

9

n
=

1

891

（10²ⁿ⁺²）+11•10ⁿ⁺¹-198n-210（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了給出數(shù)列的項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式，分組求和的方法的運(yùn)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本應(yīng)用，考查了歸納推理的能力．解決本題的關(guān)鍵是歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式．