Question

【題目】已知橢圓C的離心率為，長軸的左、右端點(diǎn)分別為，.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線，交于S，試問：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)S恒在定直線l：上,證明見解析

【解析】

（1）設(shè)橢圓C的方程為，可得的值，再根據(jù)，可得的值，由此能求出橢圓C的方程；
（2）取，得，，進(jìn)而得到直線和直線的方程，聯(lián)立求出他們的交點(diǎn)坐標(biāo).若，，由對(duì)稱性可知的坐標(biāo)，若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為l：，然后證明當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)S在直線上.

解：（1）設(shè)橢圓C的方程為，

，，，，

橢圓C的方程為；

（2）取，得，，

直線的方程是，直線的方程是，交點(diǎn)為.

若，，

由對(duì)稱性可知，

若點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為l：.

以下證明對(duì)于任意的m，直線與的交點(diǎn)S均在直線l：上，

事實(shí)上，由，

得，

記，，

則，，

記與l交于點(diǎn)，

由，得，

設(shè)與交于點(diǎn)，

由，得，

，

，即與重合，

這說明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線l：上.