Question

已知O為直角坐標(biāo)系原點，P，Q的坐標(biāo)均滿足不等式組

4x+3y-25≤0 x-2y+2≤0 x-1≥0

，cos∠POQ的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：先畫出不等式組

4x+3y-25≤0 x-2y+2≤0 x-1≥0

對應(yīng)的平面區(qū)域，利用余弦函數(shù)在[0，

π

2

]上是減函數(shù)，再找到∠POQ最大時對應(yīng)的點的坐標(biāo)，就可求出cos∠POQ的最小值．

解答：解：滿足不等式組

4x+3y-25≤0 x-2y+2≤0 x-1≥0

的平面區(qū)域如下圖示：
因為余弦函數(shù)在[0，

π

2

]上是減函數(shù)，所以角最大時對應(yīng)的余弦值最小，
由圖得，當(dāng)P與A（7，1）重合，Q與B（4，3）重合時，角POQ最大．
此時k_OB=

3

4

，k_0A=7．由tan∠POQ=

7- 3 4

1+7× 3 4

=1?∠POQ=

π

4

?cos∠POQ=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題屬于線性規(guī)劃中的延伸題，對于可行域不要求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，而是求可行域內(nèi)的點與原點（0，0）圍成的角的問題．