Question

【題目】已知圓點(diǎn), 是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)。

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）直線與點(diǎn)的軌跡交于不同兩點(diǎn)和，且（其中 O 為坐標(biāo)

原點(diǎn)），求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合已知可得點(diǎn)Q的軌跡是橢圓，并求出， 的值，進(jìn)一步得到的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理可得， 的橫坐標(biāo)的和與積，再由，即可求出的值.

試題解析：（I）配方，圓

由條件， ，故點(diǎn)的軌跡是橢圓， ，

橢圓的方程為

（II）將代入得.

由直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，得

即.

設(shè)，則.

由,得.

而

.

于是.解得.故的值為.