Question

數(shù)列{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，a₂=6，S₃=26．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列．設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是A_n．求關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n），使得A_n=g（n）d_n對(duì)任意n∈N₊恒成立；
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個(gè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)d_m，d_k，d_p（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）設(shè)公比為q，由，a₂=6，S₃=26 可得

6

q

+6+6q=20，解得q=3，或 q=

1

3

，再由q＞1可得q=3，∴a₁=2，a_n=2×3^n-1．
（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 2×3ⁿ=2×3^n-1+（n+1）•d_n，∴d_n=

4×3 n-1

n+1

，
∴A_n=n 2×3^n-1+

n(n-1)

2

•

4×3 n-1

n+1

=

4• n2•3 n-1

n+1

．
∵A_n=g（n）d_n對(duì)任意n∈N₊恒成立，∴g（n）=n²．
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個(gè)數(shù)列中若存在不同的三項(xiàng)d_m，d_k，d_p（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，
則有 dk2=d_m•d_p，即 (

4×3 k-1

n+1

)2=

4×3 m-1

m+1

•

4×3 p-1

p+1

，再由 2k=mp，解得 m=k=p，
這與d_m，d_k，d_p是不同的三項(xiàng)相矛盾，故不存在不同的三項(xiàng)d_m，d_k，d_p（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．