Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)F₁、F₂都在x軸上，記橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，若△PF₁F₂是以PF₁（F₁為左焦點(diǎn)）為底邊的等腰三角形，雙曲線的離心率為3，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用離心率的定義，及雙曲線的離心率的值為3，|F₁F₂|=|PF₂|，可求得|PF₂|=2c，∴PF1|=

8

3

c利用橢圓的定義，可得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)|PF₁|+|PF₂|=2a′，|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵△PF₁F₂是以PF₁（F₁為左焦點(diǎn)）為底邊的等腰三角形，雙曲線的離心率為3，
∴|PF₂|=2c，

c

a

=3，
∴a=

c

3

，
∴|PF1|=

8

3

c，
可得結(jié)論．∴

8

3

c+2c=2a′，
∴

14

3

c=2a′，
∴

c

a′

=

6

14

=

3

7

故答案為：

3

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用離心率的定義，屬于中檔題．