Question

函數(shù)y=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）內(nèi)取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，且當(dāng)x=π時(shí)，y有最大值3，當(dāng)x=6π時(shí)，y有最小值-3．
（1）求此函數(shù)解析式；
（2）寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，滿(mǎn)足不等式Asin（ω

-m2+2m+3

+φ）＞Asin（ω

-m2+4

+φ）？若存在，求出m值（或范圍），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，函數(shù)的最值可以確定A，根據(jù)在x∈（0，7π）內(nèi)取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，且當(dāng)x=π時(shí)，y有最大值3，當(dāng)x=6π時(shí)，y有最小值-3，可以確定函數(shù)的周期，從而求出ω的值和φ的值，從而求得函數(shù)的解析式；
（2）令 2kπ-

π

2

≤

1

5

x+

3π

10

≤2kπ+

π

2

，解此不等式，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）根據(jù)（1）所求得的ω和φ的值，分析ω

-m2+2m+3

+φ和ω

-m2+4

+φ的范圍，確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）∵當(dāng)x=π時(shí)，y有最大值3，當(dāng)x=6π時(shí)，y有最小值-3．
∴A=

1

2

[3-（-3）]=3，

T

2

=5π，
∴T=10π=

2π

ω

，
∴ω=

2π

10π

=

1

5

，
∵當(dāng)x=π時(shí)，y有最大值3，
∴

1

5

π+?=

π

2

，
∴?=

3π

10

，
∴y=3sin（

1

5

x+

3π

10

），
（2）令 2kπ-

π

2

≤

1

5

x+

3π

10

≤2kπ+

π

2

得10kπ-4π≤x≤10kπ+π，k∈Z
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：{x|10kπ-4π≤x≤10kπ+π   k∈Z}；
（3）∵ω=

1

5

，?=

3π

10

，
∴ω

-m2+2m+3

+?=

1

5

-(m-1)2+4

+

3π

10

∈（0，

π

2

），
ω

-m2+4

+?=

1

5

-m2+4

+

3π

10

∈（0，

π

2

），
而y=sint在（0，

π

2

）上是增函數(shù)
∴

1

5

-m2+2m+3

+

3π

10

＞

1

5

-m2+4

+

3π

10

，
∴

-m2+2m+3

＞

-m2+4

∴

-m2+2m+3≥0 -m2+4≥0 -m2+2m+3＞-m2+4

，
∴

-1≤m≤3 -2≤m≤2 m＞ 1 2

解得：

1

2

＜m≤2．
∴m的取值范圍是

1

2

＜m≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象求函數(shù)的解析式以及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，問(wèn)題（3）的設(shè)置，增加了題目的難度和新意，易錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)ω

-m2+2m+3

+φ∈（0，

π

2

），ω

-m2+4

+φ∈（0，

π

2

）的分析與應(yīng)用，考查靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題．