Question

【題目】各項均為非負整數(shù)的數(shù)列{an}同時滿足下列條件：

①a1=m(mN*)；②ann-1(n≥2)；③n是a1+a2+‥+an的因數(shù)（n ≥1）．

（Ⅰ）當(dāng)m=5時，寫出數(shù)列{an}的前五項；

（Ⅱ）若數(shù)列{an}的前三項互不相等，且n≥3時，an為常數(shù)，求m的值；

（Ⅲ）求證：對任意正整數(shù)m，存在正整數(shù)M，使得n≥M時，an為常數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見詳解.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，即可由題意求得結(jié)果；

（Ⅱ）對的取值進行分類討論，即可容易求得結(jié)果；

（Ⅲ）根據(jù)已知條件，結(jié)合題意，利用之間的關(guān)系，即可進行證明.

（Ⅰ）當(dāng)時，，

，且是的因數(shù)，故可得；

，且是的因數(shù)，故可得；

，且是的因數(shù)，故可得；

，且是的因數(shù)，故可得；

綜上可得：.

（Ⅱ）（1）當(dāng)時，

若，則，

且對，都為整數(shù)，故；

若，則，

且對，都為整數(shù)，故；

（2）當(dāng)時，

若，則，

且對，都為整數(shù)，故，不符合題意；

若，則，

且對，都為整數(shù)，故；

綜上所述：的值為.

（Ⅲ）證明：對于，令

則

又對每一個都是正整數(shù)，

故其中至多出現(xiàn)個.

故存在正整數(shù)，當(dāng)時，必有

當(dāng)時，則

故

則

有題設(shè)可知

，

又以及均為整數(shù)，

都為常數(shù).

故可得為常數(shù).

故對任意正整數(shù)m，存在正整數(shù)M，使得n≥M時，an為常數(shù)．