Question

（04年福建卷文）（12分）

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q.

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求直線l的方程；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，并求點(diǎn)M到x軸的最短距離.

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2， ∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）.

由  ，  ①     得，  ∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率=2，

直線l的斜率k_l=－=   ∴直線l的方程為y－2=－(x－2)，

即 x+2y－6=0.

（Ⅱ）設(shè)

∵ 過(guò)點(diǎn)P的切線斜率 =x₀，當(dāng)x₀=0時(shí)不合題意，

  ∴ 直線l的斜率k_l=－=，

直線l的方程為      ②

方法一：聯(lián)立①②消去y，得x²+x－x₀²－2=0.   設(shè)Q  

∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，

∴

消去x₀，得y=x²+(x≠0)就是所求的軌跡方程.

由x≠0知

上式等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是

方法二：

設(shè)Q則

由y₀=x₀²，y₁=x₁²，x=

∴ y₀－y₁=x₀²－x₁²=(x₀+x₁)(x₀－x₁)=x(x₀－x₁)，

∴   ∴

將上式代入②并整理，得  y=x²+(x≠0)就是所求的軌跡方程.

由x≠0知

上式等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以點(diǎn)M到x軸的最短距離是