Question

設(shè)函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底）.
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若存在常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)分別滿足和，則稱直線：為函數(shù)和的“隔離直線”.試問(wèn)：函數(shù)和是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔離直線”方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）最小值為0
（2）存在唯一的“隔離直線”

（1）

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
在處去的最小值為0
（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，（僅當(dāng)取等號(hào)）
若存在“隔離直線”，則存在常數(shù)k和b，使得
恒成立
的圖像在處有公共點(diǎn)，
因此若存在的“隔離直線”，則該直線必過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)
設(shè)該直線為
恒成立，恒成立，得

以下證明，當(dāng)時(shí)恒成立

∴當(dāng)時(shí)有為0,也就是最大值為0．從而,即恒成立．故函數(shù)和存在唯一的“隔離直線”．……………12分