Question

已知，a∈R，f（x）為奇函數(shù)，且f（2x）=

a-4x

4x+1

．
（1）求f（x）的反函數(shù)及其定義域；
（2）當x∈（r，k）時，f^-1（x）的值域為（-

1

2

，+∞）  求k，r的值．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)奇函數(shù)可求出a的值，求出函數(shù)值域即為反函數(shù)的定義域，然后反解出x，將x與y互換即可求出所求；
（2）根據(jù)函數(shù)的值域，結(jié)合函數(shù)的圖象建立方程組，解之即可求出．

解答：解：（1）∵f（2x）=

a-4x

4x+1

=

a-22x

22x+1

．∴f（x）=

a-2x

2x+1

又因f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）+f（x）=0
即

a-2-x

2-x+1

+

a-2x

2x+1

=

(a-1)•2x+(a-1)

2x+1

=0恒成立，
∴a=1
∴f（x）=

1-2x

2x+1

令t=2x，則t＞0，∴f（t）=

1-t

t+1

可得f（x）的值域為（-1，1），反解x可得x=log₂

1-y

y+1

即f^-1（x）=log₂

1-x

x+1

，定義域為（-1，1）
（2）令y=log₂t，t=

1-x

x+1

，又因y＞-

1

2

∴t＞

2

2

結(jié)合t=

1-x

x+1

的圖象分析可得

1-k 1+k = 2 2 r=-1

解得k=3-2

2

，r=-1

點評：本題主要考查了反函數(shù)，以及函數(shù)的基本性質(zhì)，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．