Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*），對(duì)于A的一個(gè)子集S：若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對(duì)S中的任意一對(duì)元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，則稱S具有性質(zhì)P。
（1）當(dāng)n=10時(shí)，試判斷集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*）是否具有性質(zhì)P？并說明理由；
（2）當(dāng)n=1000時(shí)，
① 若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性質(zhì)P?并說明理由；
②若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值。

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=10時(shí)，集合A={1，2，3，…，19，20}， B={x∈A|x>9}={10，11，12，…，19，20}不具有性質(zhì)P。
因?yàn)閷?duì)任意不大于10的正整數(shù)m，
都可以找到該集合中兩個(gè)元素b₁=10與b₂=10+ m，使得|b₁-b₂|=m成立
集合C={x∈A│x=3k-1，k∈N*）具有性質(zhì)P
因?yàn)榭扇�m=1＜10，對(duì)于該集合中任意一對(duì)元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N*
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1。
（2）當(dāng)n=1000時(shí)，則A={1，2，3，…，1999，2000}，
①若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={2001-x|x∈s}一定具有性質(zhì)P
首先因?yàn)門={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，
因?yàn)镾A，所以x₀∈{1，2，3，…，2000}，
從而1≤2001-x₀≤2000，即t∈A，
所以TA
由S具有性質(zhì)P，可知存在不大于1000的正整數(shù)m，使得對(duì)S中的任意一對(duì)元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m
對(duì)于上述正整數(shù)m，
從集合T={2001-x|x∈S）中任取一對(duì)元素t₁=2001-x₁，t₂=2001-x₂，其中x₁，x₂∈S，
則有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性質(zhì)P。
②設(shè)集合S有k個(gè)元素，由第①問知，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={2001-x|x∈S）一定具有性質(zhì)P
任給x∈S，1≤x≤2000，則x與2001-x中必有一個(gè)不超過1000，
所以集合S與T中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過1000，
不妨設(shè)s中有t（t≥）個(gè)元素b₁，b₂，…，b_t不超過1000
由集合S具有性質(zhì)P，可知存在正整數(shù)m≤1000，
使得對(duì)S中任意兩個(gè)元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，
所以一定有b₁+m，b₂+m，…，b_t+mS
又b_i+m≤1000+1000=2000，
故b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∈A，
即集合A中至少有t個(gè)元素不在子集S中，
因此k+≤k+t≤2000，
所以k+≤2000，得k≤1333，
當(dāng)S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}時(shí)，
取m=667，則易知對(duì)集合S中任意兩個(gè)元素y₁，y₂，
都有|y₁-y₂|≠667，即集合S具有性質(zhì)P，
而此時(shí)集合S中有1333個(gè)元素，
因此集合S元素個(gè)數(shù)的最大值是1333。