Question

已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB交SB于E，過E作EF⊥SC交SC于F

(1)求證：AF⊥SC

(2)若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD

Answer 1

解析:

如圖，欲證AF⊥SC，只需證SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲證SC⊥平面AEF，只需證AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面ABC，再由已知只需證AE⊥BC，而要證AE⊥BC，只需證BC⊥平面SAB，而這可由已知得證

證明  (1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC

∵矩形ABCD，∴AB⊥BC

∴BC⊥平面SAB

∴BC⊥AE又SB⊥AE  ∴AE⊥平面SBC

∴SC⊥平面AEF

∴AF⊥SC

(2)∵SA⊥平面AC  ∴SA⊥DC，又AD⊥DC

∴DC⊥平面SAD  ∴DC⊥AG

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF

∴SC⊥AG  ∴AG⊥平面SDC  ∴AG⊥SD