Question

已知函數(shù)的定義域為，對定義域內(nèi)的任意x，滿足，當(dāng)時，（a為常），且是函數(shù)的一個極值點，

(1)求實數(shù)a的值；

(2)如果當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值；

(3)求證：

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2)2；(3)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用為奇函數(shù)，所以設(shè)，利用，求出時的，然后再求時的，再根據(jù)，求出，驗證所求能夠使是函數(shù)的一個極值點；(2)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，即求的最小值，求,再設(shè),易求,當(dāng)時，為增函數(shù)，最小， ，即逐步分析為單調(diào)遞增函數(shù)，從而求得最小值.(3)通過代入(2)式恒成立不等式，變形放縮后得到,為出現(xiàn)(2)要證形式，所以令,則,然后將k=1,2, n,代入上式，累加，從而得出要證不等式.此題綜合性較強.

試題解析：(1)由題知對定義域內(nèi)任意，，為奇函數(shù)，

當(dāng)時，，，

當(dāng)時，

由題知：，解得，經(jīng)驗證，滿足題意.

(2)由(1)知

當(dāng)時，，令

則時，恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立.

令，，則，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時，，在單調(diào)遞增.

則若在恒成立，則

的最大值2.

(3)由(2)知當(dāng)時，有，即

則

令，則

當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；

當(dāng)時，

將以上不等式兩端分別相加得：

即.

考點：1.函數(shù)極值的應(yīng)用；2.利用導(dǎo)數(shù)求最值；3.證明不等式的方法.