Question

函數(shù)f（x）=|2x+1|+|ax|，若存在三個互不相等的實數(shù)x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則實數(shù)a=

±2

．

Answer 1

分析：題干錯誤：f（X₃），應(yīng)該為f（x₃），請給修改，謝謝．
由題意可得顯然a=0不滿足條件，當(dāng)a＞0時，化簡函數(shù)f（x）的解析式，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得a的值．
當(dāng)a＜0時，同理求得a=-2．綜合可得結(jié)論．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=|2x+1|+|ax|，顯然a=0不滿足條件．
當(dāng)a＞0時，f（x）=

(-2-a)x-1 ， x＜- 1 2 (2-a)x+1 ， - 1 2 ≤x＜0 (2+a)x+1 ， x≥0

，
函數(shù)的圖象如圖所示：其中，A（-

1

2

，

a

2

），B（0，1）．

要使存在三個互不相等的實數(shù)x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（X₃），必須有

a

2

=1，∴a=2．
當(dāng)a＜0時，同理求得a=-2，故有a=±2，
故答案為±2．

點評：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．