Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+mx+1（m∈z），且關(guān)于x的方程f（x）=2在區(qū)間(-3，

1

2

)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g(x)=m-|x2-1|-k，若g（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=x²+mx-1在區(qū)間(-3，

1

2

)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)（圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)），由二次函數(shù)的性質(zhì)列出等價(jià)不等式組，再求出m的值，代入解析式求解；
（2）由題意得g(x)=m-|x2-1|-k=0，由（1）化簡后由指對互化得，-|x²-1|=log₂k有兩個(gè)不同的實(shí)根，再畫出y=-|x²-1|的圖象，列出不等式由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）由f（x）=2得，x²+mx-1=0，
則方程x²+mx-1=0在區(qū)間(-3，

1

2

)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，
即函數(shù)g（x）=x²+mx-1在區(qū)間(-3，

1

2

)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)（圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)），
∴

△=m2+4＞0 -3＜- m 2 ＜ 1 2 g(-3)=9-3m-1＞0 g( 1 2 )= 1 4 + m 2 -1＞0

，解得

3

2

＜m＜

8

3

，
∵m∈z，∴m=2，
則函數(shù)的解析式是f（x）=x²+2x+1，
（2）由g(x)=m-|x2-1|-k=0得，2-|x2-1|=k，
即-|x²-1|=log₂k有兩個(gè)不同的實(shí)根，
畫出y=-|x²-1|的圖象：

由圖得，log₂k＜-1或log₂k=0，
解得0＜k＜

1

2

或k=1，
故k的取值范圍：0＜k＜

1

2

或k=1．

點(diǎn)評：本題主要考查了方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡，考查了數(shù)形結(jié)合思想和基本的作圖能力．