Question

已知a為實數，函數f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f'（-1）=0，求函數y=f（x）在[-

3

2

，1]上的最大值和最小值；
（2）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f'（-1）=0，可求得函數解析式，進而可研究函數的單調性，從而確定極值，進而可知最值；
（2）根據切線與橫軸平行，對函數求導，使得到函數等于0有實根，得到關于一元二次方程的判別式，求出結果．

解答：解：（1）∵f'（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2．         …（2分）
∴f′(x)=3x2+4x+1=3(x+

1

3

)(x+1)．
由f'（x）＞0，得x＜-1或x＞-

1

3

；                     …（4分）
由f'（x）＜0，得-1＜x＜-

1

3

．因此，函數f（x）的單調增區(qū)間為[-

3

2

， -1]，[-

1

3

， 1]；
單調減區(qū)間為[-1， -

1

3

]．                                   …（6分）
f（x）在x=-1取得極大值為f（-1）=2；f（x）在x=-

1

3

取得極小值為f(-

1

3

)=

50

27

．
由∵f(-

3

2

)=

13

8

，f（1）=6且

50

27

＞

13

8

∴f（x）在[-

3

2

，1]上的最大值為f（1）=6，最小值為f(-

3

2

)=

13

8

．   …（8分）
（2）∵f（x）=x³+ax²+x+a，∴f'（x）=3x²+2ax+1．
∵函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，∴f'（x）=0有實數解．   …（10分）
∴△=4a²-4×3×1≥0，∴a²≥3，即 a≤-

3

或a≥

3

．
因此，所求實數a的取值范圍是(-∞， -

3

]∪[

3

， +∞)．             …（12分）

點評：本題考查函數的極值點應用，考查利用導數求函數的最值，考查學生分析解決問題的能力．