Question

（2013•江門二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x為始邊，角α的終邊與單位圓O的交點(diǎn)B在第一象限，已知A（-1，3）．
（1）若OA⊥OB，求tanα的值．
（2）若B點(diǎn)橫坐標(biāo)為

4

5

，求S_△AOB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，設(shè)B（cosα，sinα），其中α∈(0，

π

2

)．根據(jù)OA⊥OB，利用向量的數(shù)量積為零列式，可得cosα=3sinα，再由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求出tana的值．
（2）根據(jù)題意，求出B的坐標(biāo)為（

4

5

，

3

5

），從而得到向量

OA

、

OB

的數(shù)量積，然后運(yùn)用夾角公式算出cos∠AOB=

10

10

，再用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系算出sin∠AOB=

3 10

10

，最后根據(jù)|

OA

|=1、|

OB

|=

10

運(yùn)用正弦定理的面積公式，即可得到S_△AOB的值．

解答：解：∵點(diǎn)B在單位圓上，且在第一象限
∴設(shè)B（cosα，sinα），α∈(0，

π

2

)
（1）∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=0，即-cosα+3sinα=0，
可得cosα=3sinα，所以tanα=

sinα

cosα

=

1

3

；
（2）∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為

4

5

，
∴cosα=

4

5

，可得sinα=

1-cosα2

=

3

5

（舍負(fù)）
因此B的坐標(biāo)為（

4

5

，

3

5

）
∵A（-1，3），可得|

OA

|=

(-1)2+32

=

10

∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

-1× 4 5 +3× 3 5

10 ×1

=

10

10

由此可得，sin∠AOB=

1-cos2∠AOB

=

3 10

10

因此，S_△AOB=

1

2

|

OA

|•|

OB

|sin∠AOB=

1

2

×

10

×1×

3 10

10

=

3

2

．

點(diǎn)評：本題給出單位圓與角α在第一象限的交點(diǎn)為A，求α的正切值，并求三角形AOB的面積．著重考查了三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系和向量數(shù)量積公式、夾角公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．