Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點，過F₂的弦AB，若△ABF₁的周長為16，離心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程及其焦點坐標；
（Ⅱ）若A₁，A₂是橢圓長軸上的兩個頂點，P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點．求證：直線A₁P與直線A₂P的斜率之積是定值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)橢圓的定義，得△ABF₁的周長為4a=16，解之得a=4．再根據(jù)離心率e=

3

2

算出c=2

3

，從而得出b的值，可得該橢圓的標準方程及其焦點坐標；
（II）設(shè)P（x₀，y₀），利用直線的斜率公式算出A₁P、A₂P的斜率關(guān)于x₀、y₀的表達式，結(jié)合點P在橢圓上利用橢圓方程進行化簡，可得直線A₁P與直線A₂P的斜率之積等于定值-

1

4

．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點，
∵弦AB經(jīng)過橢圓的右焦點F₂，
∴△ABF₁的周長為|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=16，解之得a=4．
又∵橢圓的離心率e=

3

2

，∴

c

a

=

3

2

，解得c=2

3

，
由此可得b=

a2-c2

=2
故該橢圓的標準方程為：

x2

16

+

y2

4

=1，焦點坐標為：F1(-2

3

，0)，F2(2

3

，0)；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），則A₁（-4，0），A₂（4，0），
可得直線A₁P與直線A₂P的斜率分別為kA1P=

y0

x0+4

，kA2P=

y0

x0-4

(x≠±4)
∴kA1P•kA2P=

y02

x02-16

，
∵點P為橢圓上的點，滿足

x02

16

+

y02

4

=1，可得y02=4(1-

x02

16

)=4-

x02

4

，
∴kA1P•kA2P=

4- x02 4

x02-16

=-

1

4

，即直線A₁P與直線A₂P的斜率之積等于定值-

1

4

．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并證明兩條直線斜率之積等于常數(shù)．著重考查了橢圓的定義與標準方程、直線的斜率公式等知識，屬于中檔題．