Question

某汽車(chē)駕駛學(xué)校在學(xué)員結(jié)業(yè)前，對(duì)學(xué)員的駕駛技術(shù)進(jìn)行4次考核，規(guī)定：按順序考核，一旦考核合格就不必參加以后的考核，否則還需參加下次考核．若學(xué)員小李獨(dú)立參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為

1

8

的等差數(shù)列，他參加第一次考核合格的概率不超過(guò)

1

2

，且他直到第二次考核才合格的概率為

9

32

．
（1）求小李第一次參加考核就合格的概率P₁；
（2）求小李參加考核的次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）小李獨(dú)立參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為

1

8

的等差數(shù)列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，寫(xiě)出概率的關(guān)系式，列出方程，得到結(jié)果．
（2）小李參加考核的次數(shù)ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，小李四次考核每次合格的概率依次為

1

4

，

3

8

，

1

2

，

5

8

，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，得到分布列和期望．

解答：解：（1）小李獨(dú)立參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為

1

8

的等差數(shù)列，
且他直到第二次考核才合格的概率為

9

32

．
得（1-p₁）（p₁+

1

8

）=

9

32

，
解得p₁=

1

4

或p₁=

5

8

．
∵p₁≤

1

2

，∴p₁=

1

4

，
即小李第一次參加考核就合格的概率為

1

4

（2）由（1）的結(jié)論知，ξ的可能取值是1，2，3，4
小李四次考核每次合格的概率依次為

1

4

，

3

8

，

1

2

，

5

8

，
∴P（ξ=1）=

1

4

，P（ξ=2）=

9

32

，
P（ξ=3）=（1-

1

4

）（1-

3

8

）

1

2

=

15

64

P（ξ=4）=（1-

1

4

）•（1-

3

8

）•（1-

1

2

）•1=

15

64

∴小李參加測(cè)試的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為Eξ=1•

1

4

+2•

9

32

+3•

15

64

+4•

15

64

=

157

64

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是一個(gè)綜合題目．