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        1. 設(shè)點M(x,y)到直線x=4的距離與它到定點(1,0)的距離之比為2,并記點M的軌跡曲線為C.
          (I)求曲線C的方程;
          (II)設(shè)過定點(0,2)的直線l與曲線C交于不同的兩點E,F(xiàn),且∠EOF=90°(其中O為坐標(biāo)原點),求直線l的斜率k的值;
          (III)設(shè)A(2,0),B(0,)是曲線C的兩個頂點,直線y=mx(x>0)與線段AB相交于點D,與橢圓相交于E,F(xiàn)兩點,求四邊形AEBF面積的最大值.
          【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)曲線C上的任意一點P(x,y),則有,由此能求出曲線C的方程.
          (Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,與橢圓的交點E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),由,得(3+4k2)x2+16kx+4=0,再由根的判別式和l與橢圓交于不同的兩點E,F(xiàn)且∠EOF=90°,得,由此能夠求出直線l的斜率k的值.
          (Ⅲ)解方程組得,,S四邊形AEBF=2S△BOE+2S△FOA=|BO|•x1+|AO|•y1,由此能還應(yīng)出S四邊形AEBF的最大面積.
          解答:解:(Ⅰ)設(shè)曲線C上的任意一點P(x,y)
          則有化簡得:(4分)
          (Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,與橢圓的交點E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2⇒(3+4k2)x2+16kx+4=0△=(16k)2-16(3+4k2)>0⇒,(6分)
          因為l與橢圓交于不同的兩點E,F(xiàn)且∠EOF=90°得,x1x2+y1y2=0x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0
          解得:(滿足)(8分)
          (Ⅲ)解方程組得
          ,S四邊形AEBF=2S△BOE+2S△FOA=|BO|•x1+|AO|•y1(10分)====
          因為所以(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)
          即S四邊形AEBF的最大面積為(當(dāng)時取等號)(12分)
          點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊系列答案
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          (I)求曲線C的方程;
          (II)設(shè)過定點(0,2)的直線l與曲線C交于不同的兩點E,F(xiàn),且∠EOF=90°(其中O為坐標(biāo)原點),求直線l的斜率k的值;
          (III)設(shè)A(2,0),B(0,
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          )是曲線C的兩個頂點,直線y=mx(x>0)與線段AB相交于點D,與橢圓相交于E,F(xiàn)兩點,求四邊形AEBF面積的最大值.

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          2
          ,并記點M的軌跡為曲線C.
          (Ⅰ)求曲線C的方程;
          (Ⅱ)過點(2,0)作直線l與曲線C相交于A、B兩點,問C上是否存在點P,使得
          OP
          =
          OA
          +
          OB
          成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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          2
          ,并記點P的軌跡為曲線C.
          (Ⅰ)求曲線C的方程;
          (Ⅱ)設(shè)M(-2,0)的,過點M的直線l與曲線C相交于E,F(xiàn)兩點,當(dāng)線段EF的中點落在由四點C1(-1,0),C2(1,0),B1(0,-1),B2(0,1)構(gòu)成的四邊形內(nèi)(不包括邊界)時,求直線l斜率的取值范圍.

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          (Ⅰ)求曲線C的方程;
          (Ⅱ)過點(2,0)作直線l與曲線C相交于A、B兩點,問C上是否存在點P,使得=+成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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