Question

（本小題滿分13分）如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，

ABD和BCD均為等邊三角形，AB=2，學(xué)科網(wǎng)AC=。

（1）求證：AO⊥平面BCD； （2）求二面角A—BC—D的大小；

   （3）求O點(diǎn)到平面ACD的距離。

Answer 1

(Ⅰ) 證明見解析。   (Ⅱ)  arctan2 （Ⅲ）

解析:

法一：（1）證明：連結(jié)OC，∵ABD為等邊三角形，O為BD的中點(diǎn)，∴AO垂直BD。（1分）∴ AO=CO=�！�…（2分）在AOC中，AC=，∴AO²+CO²=AC²，

∴∠AOC=90⁰，即AO⊥OC。∴BDOC=O，∴AO⊥平面BCD�！�…（3分）

   （2）過O作OE垂直BC于E，連結(jié)AE， ∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影為OE。

    ∴AE⊥BC。 ∠AEO為二面角A—BC—D的平面角�！�…（7分）

       在RtAEO中，AO=，OE=，∠，∴∠AEO=arctan2。

       二面角A—BC—D的大小為arctan2。

       （3）設(shè)點(diǎn)O到面ACD的距離為∵V_O-ACD=V_A-OCD，∴。

       在ACD中，AD=CD=2，AC=，。

       而AO=，，∴。

       ∴點(diǎn)O到平面ACD的距離為�！�（13分）

解法二：（1）同解法一。

       （2）以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

       則O（0，0，0），A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（-1，0，0）

       ∵AO⊥平面DCD，     ∴平面BCD的法向量=(0,0,)�！�（5分）

       設(shè)平面ABC的法向量，

       ，

       由。設(shè)與夾角為，

       則�！喽�面角A—BC—D的大小為arccos。………（8分）

   （3）解：設(shè)平面ACD的法向量為又

�！�…（11分）

設(shè)與夾角為，則設(shè)O到平面ACD的距離為，

∵,∴O到平面ACD的距離為。（13分）