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        1. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意x、y∈R都有f(x)+f(y)=f( x+y).
          (1)求證:函數(shù)f(x)是奇函數(shù);
          (2)如果當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),有f(x)>0,求證:f(x)在(-1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù);
          (3)在滿足條件(2)求不等式f(1-2a)+f(4-a2)>0的a的集合.
          分析:(1)由奇函數(shù)的定義知,需要證明出f(-x)=-f(x),觀察恒等式發(fā)現(xiàn)若令y=-x,則問題迎刃而解;
          (2)由題設(shè)條件對(duì)任意x1、x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x1)-f(x2)與0的大小即可.
          (3)根據(jù)奇函數(shù)把不等式變形,再根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式的解之即可.
          解答:(1)、證明:令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)式,
          得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.
          令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y),
          得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,則有
          0=f(x)+f(-x).
          即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立,
          所以f(x)是奇函數(shù).
          (2)、任取-1<x1<x2<1,則x1-x2<0,
          由題設(shè)x<0時(shí),f(x)>0,可得f(x1-x2)>0
          f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0
          故有f(x1)>f(x2
          所以f(x)在(-1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù).
          (3)、任取x1<x2,則x1-x2<0,
          由題設(shè)x<0時(shí),f(x)>0,可得f(x1-x2)>0
          f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0
          故有f(x1)>f(x2
          所以f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù).
          由題意可知:f(x)奇函數(shù),f(1-2a)+f(4-a2)>0
          所以f(1-2a)>f(a2-4)
          又因?yàn)閒(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù).
          所以1-2a<a2-4,
          解得:(-∞,-1-
          6
          )∪(-1+
          6
          ,+∞)
          點(diǎn)評(píng):本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,考查用賦值法求函數(shù)值證明函數(shù)的奇偶性,以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解抽象不等式.
          此類題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力,能從所給的條件中組織出證明問題的組合來(lái).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當(dāng)x∈[0,
          π
          2
          ]時(shí),f(x)=sinx,則f(
          3
          )的值為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          20、已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.
          (1)求f(x)的解析式;
          (2)討論f(x)在區(qū)間[-3,3]上的單調(diào)性.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x+2)=
          1-f(x)1+f(x)
          ,當(dāng)x∈(0,4)時(shí),f(x)=x2-1,則f(2010)=
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤
          π
          2
          ),最大值與最小值的差為4,相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)之間距離為π,函數(shù)y=sin(2x+
          π
          3
          )圖象所有對(duì)稱中心都在f(x)圖象的對(duì)稱軸上.
          (1)求f(x)的表達(dá)式;    
          (2)若f(
          x0
          2
          )=
          3
          2
          (x0∈[-
          π
          2
          ,
          π
          2
          ]),求cos(x0-
          π
          3
          )的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對(duì)應(yīng)值表:
          x 0 1 2 3
          f(x) 3.1 0.1 -0.9 -3
          那么函數(shù)f(x)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是( 。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案