Question

若關于x的方程

|x|

x+4

=kx2有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是

(

1

4

，+∞)

．

Answer 1

分析：分x=0和x≠0分析方程解的情況，x=0方程顯然成立，不等于0時消掉x后利用數(shù)形結合的方法畫圖分析．

解答：解：方程

|x|

x+4

=kx2有四個不同的實數(shù)解，
x=0是方程的1個根，
當x≠0時方程變?yōu)?span id="i72c3fv" class="MathJye">k|x|=

1

x+4

①．
要使方程①有3個不為0的實數(shù)根，
則函數(shù)y=k|x|和y=

1

x+4

應有3個不同的交點，
如圖，
k＜0顯然不成立，當k＞0時y=kx（x＞0）與y=

1

x+4

有一個交點，
只需y=-kx（x＜0）和y=

1

x+4

有兩個交點即可，
聯(lián)立

y=-kx y= 1 x+4

，得kx²+4kx+1=0．
由△=（4k）²-4k=0，得k=

1

4

．
∴k＞

1

4

時y=-kx（x＜0）和y=

1

x+4

有兩個交點．
綜上，關于x的方程

|x|

x+4

=kx2有四個不同的實數(shù)解的實數(shù)k的取值范圍是(

1

4

，+∞)．
故答案為：（

1

4

，+∞）．

點評：本題考查了根的存在性與根的個數(shù)的判斷，考查了數(shù)形結合及分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．