Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）=

1-x2

+a（

1-x

+

1+x

），a∈R
（Ⅰ）設(shè)t=

1-x

+

1+x

，把y表示成t的函數(shù)，并求出t的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)f（x）的最小值為g（a），求g（a）的解析式，并求g（a）的值域．

Answer 1

分析：（I）對(duì)t=

1-x

+

1+x

兩邊同時(shí)平方可得t與x的關(guān)系，代入已知函數(shù)中即可求解f（t），
（2）由（I）可得f（t）與t的關(guān)系及t的范圍，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最小值g（a）

解答：解：（I）由t=

1-x

+

1+x

兩邊同時(shí)平方可得，t2=1-x+1+x+2

1-x2

=2+2

1-x2

∴

1-x2

=

t2-2

2

∵f（x）=

1-x2

+a（

1-x

+

1+x

）
=

t2-2

2

+at=

1

2

t2+at-1
∵0≤1-x²≤1
∴2≤t²≤4且t＞0
∴

2

≤t≤4
∴y=f（t）=

1

2

t2+at-1，t∈[

2

，2]
（II）∵y=f（t）=

1

2

t2+at-1，t∈[

2

，2]
=

1

2

(t2+2at+a2)-1-

1

2

a2=

1

2

(t+a)2-1-

1

2

a2
①當(dāng)-a≥2即a≤-2時(shí)，函數(shù)f（t）在[

2

，2]單調(diào)遞減，g（a）=f（2）=2a+1≤-3
②當(dāng)-a≤

2

即a≥-

2

時(shí)，函數(shù)f（t）在[

2

，2]單調(diào)遞增，g（a）=f（

2

）=

2

a≥-2
③當(dāng)

2

＜-a＜2即-2＜a＜-

2

時(shí)，g（a）=f（-a）=-1-

1

2

a2∈（-3，-2）
根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)可知，分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集
∴g（a）的值域?yàn)镽

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了換元法在求解函數(shù)值域中的應(yīng)用，二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求解，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用．