Question

（2010•石家莊二模）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

1

an+an+1

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列的定義可判斷數(shù)列a_n²為等差數(shù)列，a_n²可求，可求得a_n；
（2）由（1）可求得an=

2n-1

，將

1

an+an+1

分母有理化后求和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n²=2，∴{a_n²}為首項(xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列，…（2分）
∴a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，又a_n＞0，則an=

2n-1

．…（5分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="7wdhvjx" class="MathJye">an=

2n-1

，
則

1

an+an+1

=

1

2n-1 + 2n+1

=

2n+1 - 2n-1

2

．…（8分）
∴

1

a1+a2

+

1

a2+a3

+…+

1

an+an+1

=

1

2

(

3

-1+

5

-

3

+…+

2n+1

-

2n-1

)…（10分）
=

1

2

(

2n+1

-1）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考差數(shù)列求和，解決的關(guān)鍵是將

1

an+an+1

分母有理化，屬于中檔題．