Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=(m+1)－ma_n  對(duì)任意正整數(shù)n都成立，其中m為常數(shù)，且m＜－1.

(1)求證:{a_n}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的公比q=f(m)，數(shù)列{b_n}滿足:b₁=a₁,b_n=f(b_n－1)(n≥2,n∈N^*). 試問(wèn)當(dāng)m為何值時(shí)，成立？

Answer 1

(1) 證明略，(2)

解析:

(1）由已知S_n+1=(m+1)－ma_n+1�、�，　　S_n=(m+1)－ma_n②,

由①－②，得a_n+1=ma_n－ma_n+1，即(m+1)a_n+1=ma_n對(duì)任意正整數(shù)n都成立.

∵m為常數(shù)，且m＜－1

∴，即{}為等比數(shù)列.

(2)當(dāng)n=1時(shí)，a₁=m+1－ma₁，∴a₁=1，從而b₁= 

由(1)知q=f(m)=，∴b_n=f(b_n－1)= (n∈N^*,且n≥2)

∴，即，

∴{}為等差數(shù)列。 ∴=3+(n－1)=n+2，

(n∈N^*).

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