【題目】已知
,且
.
（1）求
的值；
（2）證明: 
存在唯一的極小值點
,且
.
(參考數(shù)據(jù): 
)
【答案】（1）
；（2）詳見解析.
【解析】
（1）求出定義域，設
，
等價于
.
由
，，得
求出的導數(shù)，求出
的值，利用導數(shù)驗證
是
的極大值點，從而驗證，符合題意；
（2）由（1）知
，求導得
.
設
，利用二次求導，可以知道
在
上有唯一零點
；又
，所以
在
上有唯一零點
.可以判斷出
是的唯一極小值點.由
，得
，
故
， 由（1）知
.
令
，
，則
，可以求出
，結(jié)論得證.
解：（1）的定義域為
.
設，則
，等價于.
因為，，所以
而
，
，得.
若，則
，
當
時，
，單調(diào)遞增；
當
時，
，單調(diào)遞減；
所以是的極大值點，故
.
綜上，.
（2）由（1）知，.
設，則
，
，令
，得
.當
時，
，單增；當
時，
，單減；
又因為
，
，
，所以在上有唯一零點；又，所以在上有唯一零點.
于是當
時，
，
時，
，
時，.因為
，所以是的唯一極小值點.
由，得，
故，
由（1）知.
令，，則，當時，
，所以
在
上單調(diào)遞減，.
所以
，結(jié)論得證.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知正實數(shù)列a1，a2，…滿足對于每個正整數(shù)k，均有
，證明：
（Ⅰ）a1+a2≥2；
（Ⅱ）對于每個正整數(shù)n≥2，均有a1+a2+…+an≥n．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】“工資條里顯紅利，個稅新政入民心”.隨著2019年新年鐘聲的敲響，我國自1980年以來，力度最大的一次個人所得稅（簡稱個稅）改革迎來了全面實施的階段.某
從業(yè)者為了解自己在個稅新政下能享受多少稅收紅利，繪制了他在26歲-35歲（2009年-2018年）之間各年的月平均收入
（單位：千元）的散點圖：(注：年齡代碼1-10分別對應年齡26-35歲)
（1）由散點圖知，可用回歸模型
擬合與
的關(guān)系，試根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程；
（2）如果該從業(yè)者在個稅新政下的專項附加扣除為3000元/月，試利用（1）的結(jié)果，將月平均收入視為月收入，根據(jù)新舊個稅政策，估計他36歲時每個月少繳納的個人所得稅.
附注：①參考數(shù)據(jù)：
，
，
，
，
，
，
，其中
：取
，
.
②參考公式：回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
.
③新舊個稅政策下每月應納稅所得額（含稅）計算方法及稅率表如下：
舊個稅稅率表（個稅起征點3500元） | 新個稅稅率表（個稅起征點5000元） | |||
繳稅 級數(shù) | 每月應納稅所得額（含稅） | 稅率 | 每月應納稅所得額（含稅） | 稅率 |
1 | 不超過1500元的都分 | 3 | 不超過3000元的都分 | 3 |
2 | 超過1500元至4500元的部分 | 10 | 超過3000元至12000元的部分 | 10 |
3 | 超過4500元至9000元的部分 | 20 | 超過12000元至25000元的部分 | 20 |
4 | 超過9000元至35000元的部分 | 25 | 超過25000元至35000元的部分 | 25 |
5 | 超過35000元至55000元的部分 | 30 | 超過35000元至55000元的部分 | 30 |
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，幾何體AMDCNB是由兩個完全相同的四棱錐構(gòu)成的幾何體，這兩個四棱錐的底面ABCD為正方形，
，平面
平面ABCD.
(1)證明:平面
平面MDC.
(2)若
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知三棱錐
（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形
為邊長等于
的正方形，
和
均為正三角形，在三棱錐中：
（Ⅰ）證明：平面
平面
；
（Ⅱ）若點
為棱
上一點且
，求二面角
的余弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了解某市高三數(shù)學復習備考情況，該市教研機構(gòu)組織了一次檢測考試，并隨機抽取了部分高三理科學生數(shù)學成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該市此次檢測理科數(shù)學的平均成績
；（精確到個位）
（2）研究發(fā)現(xiàn)，本次檢測的理科數(shù)學成績
近似服從正態(tài)分布
（
，
約為
），按以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，理科數(shù)學成績能達到自主招生分數(shù)要求的同學約占
.
（ⅰ）估計本次檢測成績達到自主招生分數(shù)要求的理科數(shù)學成績大約是多少分？（精確到個位）
（ⅱ）從該市高三理科學生中隨機抽取
人，記理科數(shù)學成績能達到自主招生分數(shù)要求的人數(shù)為
，求的分布列及數(shù)學期望
．（說明：
表示
的概率.參考數(shù)據(jù)：
）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP的平面交平面BDM于GH，H在BD上．
（1）求證
平面BDM．
（2）若G為DM中點，求證：
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)
千件，需另投入成本
，當年產(chǎn)量不足80千件時，
（萬元）；當年產(chǎn)量不小于80千件時，
（萬元），每件售價為0.05萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.
（1）寫出年利潤
（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？
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