Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)；

(2)若，證明 .

Answer 1

【答案】（1）2個（2）詳見解析

【解析】

(1)由是奇函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成的極值點(diǎn)個數(shù)問題，求出，把的正負(fù)問題轉(zhuǎn)化成正負(fù)來處理，求出，判斷的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)判斷方法即可判斷在區(qū)間上存在唯一的使.在上不存在使得，問題得解。

(2)利用（1）中的結(jié)論可知：在區(qū)間內(nèi)恒成立.令，可將問題轉(zhuǎn)化成 ，問題得證。

解：（1）因為為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以只需考慮上的極值點(diǎn)個數(shù)，

，時，

.

令，，

∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

∴.

取，，

∴在區(qū)間上存在唯一的使.

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又為奇函數(shù)，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴的極值點(diǎn)共2個.

（2）由（1）可知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且恒成立.

∴時，，

即得.

又令，

得.

∴