Question

如圖，M是拋物線上y²=x上的一點(diǎn)，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB．
（1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值；
（2）若M為動點(diǎn)，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）可用待定系數(shù)法設(shè)出兩直線的方程，用參數(shù)表示出兩點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求了過兩點(diǎn)的直線的斜率，驗證其是否與參數(shù)無關(guān)，若無關(guān)，則說明直線EF的斜率為定值．
（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，如（1）用參數(shù)表示出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，再由重心坐標(biāo)與三角形的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系將其表示出來，消參數(shù)即可得重心的方程．
解答：解：（1）設(shè)M（y²，y），直線ME的斜率為k（k＞0），則直線MF的斜率為-k
直線ME的方程為y-y=k（x-y²），由
消去x得ky-y+y（1-ky）=0，解得y_E=，x_E=
同理可得y_F=，x_F=
∴k_EF=，將坐標(biāo)代入得k_EF=-（定值）
所以直線EF的斜率為定值．

（2）當(dāng)∠EMF=90°時，∠MAB=45°，所以k=1
∴直線ME的方程為：y-y=x-y²，
由得E（（1-y）²，1-y）
同理可得F（（1+y）²，-（1+y）），
設(shè)重心為G（x，y），則有
代入坐標(biāo)得
消去參數(shù)y得y²=x-（x＞）
點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是直線與圓錐直線的位置關(guān)系，待定系數(shù)法表示方程，在本題驗證直線過定點(diǎn)是先用參數(shù)表示出相關(guān)的直線方程解出兩點(diǎn)的坐標(biāo)再用斜率公式驗證其是否為定值．