Question

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，滿(mǎn)足直線(xiàn)的斜率依次成等比數(shù)列，
求面積的取值范圍.

Answer 1

(1) ；（2）.

試題分析：(1)先設(shè)出橢圓方程為，再根據(jù)條件離心率為及橢圓上的點(diǎn)，代入即可得到橢圓方程；（2）先設(shè)出直線(xiàn)方程及，然后聯(lián)立橢圓方程得到及.再由直線(xiàn)的斜率依次成等比數(shù)列得到，由得到.代入中及直線(xiàn)的斜率存在得到，且，然后由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及兩點(diǎn)間距離公式得到面積.最后由基本不等式得到，從而得到面積的取值范圍.
試題解析：(1) 由題意可設(shè)橢圓方程為，則（其中，），且，故.
所以橢圓的方程為.
(2)由題意可知，直線(xiàn)的斜率存在且不為0.故可設(shè)直線(xiàn)：，
設(shè)，
由，消去得，
則，
且，
故，
因?yàn)橹本�(xiàn)的斜率依次成等比數(shù)列，
所以，即.
又，所以，即.
由于直線(xiàn)的斜率存在，且，得，且，
設(shè)為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，則，
，
所以，
故面積的取值范圍為.