Question

已知雙曲線的離心率，過A（a，0），B（0，-b）的直線到原點的距離是．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y=kx+5（k≠0）交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由離心率為可得①，原點到直線AB的距離是，得=②，由①②及c²=a²+b²可求得b，a；
（2）把y=kx+5代入x²-3y²=3中消去y，得x的二次方程，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點是E（x，y），由C，D都在以B為圓心的圓上，得k_BE==-，由韋達定理及中點坐標公式可得k的方程，解出即可；
解答：解：∵（1）①，原點到直線AB：的距離==②，
聯(lián)立①②及c²=a²+b²可求得b=1，a=，
故所求雙曲線方程為 ．
（2）把y=kx+5代入x²-3y²=3中消去y，整理得 （1-3k²）x²-30kx-78=0．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），C、D的中點是E（x，y），
則，=，y=kx+5=，k_BE==-，
∴x+ky+k=0，即，解得k=，
故所求k=±．
點評：本題考查直線方程、雙曲線方程及其位置關系，考查圓的性質，考查學生解決問題的能力．