Question

如圖是一個面積為1的三角形，現(xiàn)進(jìn)行如下操作。第一次操作：分別連接這個三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個三角形，挖去中間一個三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標(biāo)簽“1”；第二次操作：連結(jié)剩余的三個三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時在挖去的3個三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形，同時在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“3”；……，如此下去，記第次操作后剩余圖形的總面積為

（1）求；

（2）求第次操作后，挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字和；

（3）浴使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的，問至少經(jīng)過多少次操作？  

Answer 1

解析：（1）；   …………4分

（2）設(shè)第n次操作挖去個三角形，則是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即，所以所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字的和

則，兩式相減，得：

，故

（3）因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090527/20090527143350010.gif' width=31>是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以…………8分

由，得

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090527/20090527143350015.gif' width=249>所以當(dāng)時，

所以至少經(jīng)過5次操作，可以使剩余圖形的總面積不足原三角形面積的…………12分