Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為a，公差d＝2，前n項(xiàng)和為S_n．

(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ) 證明：n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不構(gòu)成等比數(shù)列．

Answer 1

本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列概念、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力及分析問題解決問題的能力。滿分14分。

(Ⅰ)解：因?yàn)?i>S_n＝na＋n (n－1)，

S₁＝a，S₂＝2a＋2，S₄＝4a＋12．由于S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，因此

＝S₁S₄，即得a＝1．a_n＝2n－1．                …………6分

(Ⅱ)證明：采用反證法．不失一般性，不妨設(shè)對(duì)某個(gè)m∈N*，S_m，S_m＋1，S_m＋2構(gòu)成等比數(shù)列，即．因此

a²＋2ma＋2m(m＋1)＝0，     

要使數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a存在，上式中的Δ≥0．然而

Δ＝(2m)²－8m(m＋1)＝－4m (2＋m)＜0，矛盾．

所以，對(duì)任意正整數(shù)n，S_n，S_n＋1，S_n＋2都不構(gòu)成等比數(shù)列．   …………14分