Question

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）的對稱軸方程，對稱中心坐標(biāo)．
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及取得最大值的x值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的圖象得出A，求出函數(shù)的半周期，從而得出ω，代入最高點坐標(biāo)求出φ，得函數(shù)的解析式；
（2）由（1）利用正弦函數(shù)的對稱軸方程求解函數(shù)的對稱軸方程，對稱中心坐標(biāo)求解對稱中心坐標(biāo)．
（3）通過正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)遞區(qū)間，利用正弦函數(shù)的最值直接求解x的值．

解答：解：（1）由題設(shè)知，A=3，T=4×(

π

6

+

π

6

)=π，∴ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+φ），∵3sin（2×

π

6

+φ）=3，∴sin（

π

3

+φ）=1，
∴

π

3

+φ=

π

2

，∴φ=

π

6

，∴f（x）=3sin（2x+

π

6

）；
（2）由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
由2x+

π

6

=kπ得x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的對稱中心坐標(biāo)為（

kπ

2

-

π

12

，0）（k∈Z）；
（3）

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得

π

6

+kπ≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[

π

6

+kπ，kπ+

2π

3

]， k∈Z．
當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得x=kπ+

π

6

，k∈Z，
函數(shù)f（x）取得最大值．

點評：求y=Asin（ωx+φ）的解析式，條件不管以何種方式給出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱軸方程、對稱中心坐標(biāo)時，要把ωx+φ看作整體，分別代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱軸方程、對稱中心坐標(biāo)分別求出x，這兒利用整體的思想；求y=Asin（ωx+φ）的最大值，需要借助正弦函數(shù)的最大值的求解方法即可．