Question

【題目】已知的三個頂點(diǎn)，其外接圓為圓．

（1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；

（2）對于線段（包括端點(diǎn)）上的任意一點(diǎn)，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求圓的半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

試題(1)借助題設(shè)條件直接求解；(2)借助題設(shè)待定直線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求解；(3)借助題設(shè)建立關(guān)于的不等式,運(yùn)用分析推證的方法進(jìn)行求解.

試題解析：

（1）的面積為2；

（2）線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，

所以外接圓圓心，半徑，圓的方程為，

設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本�被圓截得的弦長為2，所以.

當(dāng)直線垂直于軸時，顯然符合題意，即為所求；

當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，則，解得，

綜上，直線的方程為或.

（3）直線的方程為，設(shè)，，

因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，又，都在半徑為的圓上，

所以即

因?yàn)樵撽P(guān)于，的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有公共點(diǎn)，所以，

又，所以對成立.

而在上的值域?yàn)?/span>，所以且.

又線段與圓無公共點(diǎn)，所以對成立，即.

故圓的半徑的取值范圍為.