Question

已知f（x）=log₂（x+1），當(dāng)點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)(

x

3

，

y

2

)在函數(shù)y=g（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式．
（2）求使g（x）＞f（x）的x的取值范圍．
（3）在（2）的范圍內(nèi)，求y=g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）令

x

3

=m，

y

2

=n，由題設(shè)條件知n=

1

2

log2(3m+1)，再由（m，n）是函數(shù)y=g（x）的圖象上的點(diǎn)，即可得到函數(shù)y=g（x）的解析式．
（2）由題意知

1

2

log2(3x+1)≥log2(x+1)．由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得

3x+1＞0 x+1＞0 3x+1≥(x+1)2

，解不等式組即可得到使g（x）＞f（x）的x的取值范圍．
（3）由題疫條件知g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．由此可知結(jié)合基本不等式即可求出g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值．

解答：解：（1）令（a，b）點(diǎn)是函數(shù)y=g（x）的圖象上的動(dòng)點(diǎn)
則a=

x

3

，b=

y

2

，則x=3a，y=2b，
∵點(diǎn)（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上
∴（x，y）滿足函數(shù)f（x）=log₂（x+1），
即2b=log₂（3a+1），
即b=log₂

3a+1

，
故函數(shù)y=g（x）=log₂

3x+1

（x＞-

1

3

），
（2）若g（x）＞f（x）
即log₂（x+1）＜log₂

3x+1

即（x+1）²＜3x+1
解得0＜x＜1
（3）∵（Ⅲ）因?yàn)?≤x≤1，
所以g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．
當(dāng)且僅當(dāng)3x+1=2時(shí)，即 x=

1

3

時(shí)等號(hào)成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值為

1

2

log2

9

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中（1）中求解析式是坐標(biāo)法中的“點(diǎn)隨點(diǎn)動(dòng)”問題，（2）中關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于x的不等式組，（3）的關(guān)鍵是根據(jù)基本不等式，求出真數(shù)部分的最大值，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到y(tǒng)=g（x）-f（x）的最大值．