Question

【題目】已知，其中.

（1）求函數(shù)的極大值點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，若在上至少存在一點(diǎn)，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行四類(lèi)討論，得到極大值的情況；（2）在上至少存在一點(diǎn)，使成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)， ，結(jié)合（1）的單調(diào)性情況，求，得到的取值范圍.

試題解析：

（1）由已知 ，

當(dāng)，即時(shí)， 在上遞減，在上遞增，無(wú)極大值；

當(dāng)，即時(shí)， 在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以在處取極大值；

當(dāng)，即時(shí)， 在上遞增，無(wú)極大值；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 在上遞增，在上遞減，在上遞增，故在處取極大值.

綜上所述，當(dāng)或時(shí)， 無(wú)極大值；

當(dāng)時(shí)， 的極大值點(diǎn)為；

當(dāng)時(shí)的極大值點(diǎn)為.

（2）在上至少存在一點(diǎn)，使成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)， .

由（1）知，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，

∴，

∴要使成立，必須使成立或成立，

由，解得，

由，解得.

∵，∴.

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，

∴，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上至少存在一點(diǎn)，使成立.