Question

設(shè)函數(shù)f(x)=clnx+

1

2

x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1為f（x）的極值點(diǎn)．
（Ⅰ） 若x=1為f（x）的極大值點(diǎn)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有1解，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=clnx+

1

2

x2+bx（b，c∈R，c≠0），知f′(x)=

c

x

+x+b=

x2+bx+c

x

，由x=1為f（x）的極值點(diǎn)，知f′(x)=

(x-1)(x-c)

x

．由x=1為f（x）的極大值點(diǎn)，知c＞1．由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（ II）若c＜0，則f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增f（x）=0恰有1解，則f（1）=0，實數(shù)c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=clnx+

1

2

x2+bx（b，c∈R，c≠0），
∴f′(x)=

c

x

+x+b=

x2+bx+c

x

，
∵x=1為f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（1）=0，
∴b+c+1=0，且c≠1，
f′(x)=

(x-1)(x-c)

x

．
∵x=1為f（x）的極大值點(diǎn)，
∴c＞1．
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0；
當(dāng)1＜x＜c時，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞c時，f′（x）＞0．
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），（c，+∞）；遞減區(qū)間為（1，c）．
（ II）若c＜0，則f（x）在（0，1）上遞減，
在（1，+∞）上遞增f（x）=0恰有1解，
則f（1）=0，
即

1

2

+b=0，所以c=-

1

2

；
若0＜c＜1，則f極大(x)=f(c)=clnc+

1

2

c2+bc，
f極小(x)=f(1)=

1

2

+b
因為b=-1-c，則f極大(x)=clnc+

c2

2

+c(-1-c)=clnc-c-

c2

2

＜0
f極小(x)=-

1

2

-c，
從而f（x）=0恰有一解；
若c＞1，則f極小(x)=clnc+

c2

2

+c(-1-c)=clnc-c-

c2

2

＜0
f極大(x)=-

1

2

-c，
從而f（x）=0恰有一解；
所以所求c的范圍為{c|0＜c＜1或c＞1或c=-

1

2

}．．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．