Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，且E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點．
（1）求證：平面PEF⊥平面PAC；
（2）求三棱錐P-EFC的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，且E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點我們易得到BD⊥AC，結(jié)合三角形的中位線定理，進一步可得到EF⊥AC，EF⊥PA，由線面垂直的判定定理，可得EF⊥平面PAC，再由面面垂直的定理即可得到平面PEF⊥平面PAC；
（2）由已知中PA⊥平面ABCD，我們易得棱錐的高為PA，底面為三角形EFC，分別求出棱錐的高及底面面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（1）連接BD，因為ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
因為E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC，（4分）
因為PA⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，
所以EF⊥PA，因為PA∩AC=A，
所以EF⊥平面PAC，
因為EF?平面PEF，所以平面PEF⊥平面PAC．（8分）
解：（2）VP-EFC=

1

3

S△EFC•PA=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

．（14分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中（1）中熟練掌握面面垂直及線面垂直的判定定理是關(guān)系，（2）中求出棱錐的底面面積及高是關(guān)鍵．