Question

【題目】已知.

（1）求函數(shù)最值；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1） 取最大值，無(wú)最小值；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并且求函數(shù)的極值點(diǎn)，并且分析極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值；

（2）設(shè)，根據(jù)（1）可知，然后采用分析法的證明思路，轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可知函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，得證.

試題解析：（1）對(duì)求導(dǎo)可得，

令得x=0.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)x=0時(shí)，取最大值，無(wú)最小值.

（2）不妨設(shè)，由（1）得

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

若，則，

欲證：，只需證：，

∵函數(shù)在單調(diào)遞減，

只需證：，考慮到，即證，也即證

下證：，

設(shè)，

，

∴，故g（x）在上單調(diào)遞增，

故時(shí)，g（x）<g（0）=0，即f（x）-f（-x）<0，∴.