Question

（本題滿分12分）已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；

     證明：當時，

（3）如果且，證明

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．

函數(shù)在處取得極大值．且．

（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析。

【解析】本試題主要是考查了運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的綜合運用。

（1）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到第一問中的單調(diào)區(qū)間和極值問題。

（2）先利用對稱性求解函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立，或者利用第一問的結(jié)論，結(jié)合對稱性得到證明。

（3）由上可知函數(shù)的的單調(diào)性，結(jié)合性質(zhì)可知不等式的證明。

（Ⅰ）．令，則．

當變化時，的變化情況如下表：

	增	極大值	減

所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．

函數(shù)在處取得極大值．且．

（Ⅱ）因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，

所以，于是．

記，則，，

當時，，從而，又，所以，

于是函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．

因為，所以，當時，．因此．

（Ⅲ）(1) 若，由（Ⅰ）及,得,與矛盾；

(2) 若，由（Ⅰ）及,得,與矛盾；

根據(jù)(1)，(2)可得．不妨設(shè)．

由（Ⅱ）可知，所以．

因為，所以，又，由（Ⅰ），在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，

所以　，即．