Question

已知函數(shù)
（1）若函數(shù) 在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，若方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+2x-1
∵函數(shù)在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，
∴f′（1）=a+1=4
∴a=3
（2）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+2x-1，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可
f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解，即在（2，+∞）上有解
∵
∴
∴
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是
（3）函數(shù)，若方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）=，g′（x）=＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）=，g′（x）=-=
令g′（x）＞0，可得＜x，令g′（x）＜0，可得x＜，或x，
∴函數(shù)在上單調(diào)減，（-，）上單調(diào)增，上單調(diào)減，（1，2）上單調(diào)增
∴當(dāng)時(shí)，g（x）取得極小值．當(dāng)時(shí)，g（x）取得極大值．g（-2）=
∴或時(shí)，g（x）的圖象y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，可實(shí)數(shù)a的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ax²+2x-1，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，只需f′（x）=ax²+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可；
（3）函數(shù)，若方程g（x）-m=0在區(qū)間[-2，2]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，綜合性強(qiáng)．