Question

我國西部某省4A級風景區(qū)內住著一個少數(shù)民族村，該村投資了800萬元修復和加強民俗文化基礎設施，據(jù)調查，修復好村民俗文化基礎設施后，任何一個月內（每月按30天計算）每天的旅游人數(shù)f（x）與第x天近似地滿足f(x)=8+

8

x

（千人），且參觀民俗文化村的游客人均消費g（x）近似地滿足g（x）=143-|x-22|（元）．
（1）求該村的第x天的旅游收入p（x）（單位千元，1≤x≤30，x∈N^*）的函數(shù)關系；
（2）若以最低日收入的20%作為每一天的計量依據(jù)，并以純收入的5%的稅率收回投資成本，試問該村在兩年內能否收回全部投資成本？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旅游收入p（x）等于每天的旅游人數(shù)f（x）與游客人均消費g（x）的乘積，然后去絕對值，從而得到所求；
（2）分別研究每一段函數(shù)的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函數(shù)的單調性研究最小值，再比較從而得到日最低收入，最后根據(jù)題意可判斷該村在兩年內能否收回全部投資成本．

解答：解：（1）依題意有p（x）=f（x）•g（x）
=（8+

8

x

）（143-|x-22|）（1≤x≤30，x∈N^*）
=

8x+ 968 x +976，(1≤x≤22，x∈N*) -8x+ 1320 x +1312(22＜x≤30，x∈N*)

；
（2）①當1≤x≤22，x∈N^*時，
p（x）=8x+

968

x

+976≥2

8x× 968 x

+976=1152（當且僅當x=11時，等號成立）
∴p（x）_min=p（11）=1152（千元），
②當22＜x≤30，x∈N^*時，
p（x）=-8x+

1320

x

+1312，
考察函數(shù)y=-8x+

1320

x

，可知函數(shù)y=-8x+

1320

x

在（22，30]上單調遞減，
∴p（x）_min=p（30）=1116（千元），
又1152＞1116，
∴日最低收入為1116千元．
該村兩年可收回的投資資金為1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（萬元）．
∵803.52（萬元）＞800（萬元），
∴該村在兩年內能收回全部投資成本．

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型；（3）利用數(shù)學的方法，得到數(shù)學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數(shù)學模型．屬于中檔題．