Question

已知曲線C：，
（1）求曲線在點(diǎn)（2，4）處的切線方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)（2，4）的切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)曲線的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線的斜率，根據(jù)P的坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（2）設(shè)出曲線過(guò)點(diǎn)P切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到（1）求出的導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率，寫出切線的方程，把P的坐標(biāo)代入切線方程即可得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可．
解答：解：（1）∵P（2，4）在曲線 y=x³+上，且y'=x²
∴在點(diǎn)P（2，4）處的切線的斜率k=y'|_x=2=4；
∴曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
（2）設(shè)曲線 y=x³+與過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線相切于點(diǎn)A（x，x+），
則切線的斜率 k=y′|x=x0=x02，
∴切線方程為y-（x+）=x²（x-x），
即 y=x•x-x+，
∵點(diǎn)P（2，4）在切線上，
∴4=2x²-x+，
即x³-3x²+4=0，
∴x³+x²-4x²+4=0，
∴（x+1）（x-2）²=0
解得x=-1或x=2
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，是一道綜合題．學(xué)生在解決此類問(wèn)題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過(guò)某點(diǎn)的切線”；同時(shí)解決“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決．