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        1. 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2an-n,(n∈N*
          (Ⅰ)求a1,a2,a3的值;
          (Ⅱ)證明{an+1}是等比數(shù)列,并求an;
          (Ⅲ)若bn=(2n+1)an+2n+1,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn
          分析:(I)在Sn=2an-n中,把n=1,n=2,n=3分別代入遞推公式可求a1,a2,a3
          (II)由Sn=2an-n可得Sn-1=2an-1-(n-1),兩式相減可整理可得an+1=2(an-1+1),可證{an+1}是等比數(shù)列
          (III)由bn=(2n+1)an+2n+1可得bn=(2n+1)•2n,利用錯位相減可求
          解答:解:(I)∵Sn=2an-n,
          當n=1時,由S1=2a1-1,可得a1=1
          當n=2時,由S2=a1+a2=2a2-2,可得a2=3
          當n=3時,由S3=a1+a2+a3=2a3-3,可得a3=7
          證明:(II)∵Sn=2an-n
          ∴Sn-1=2an-1-(n-1)
          兩式相減可得,an=2an-1+1,a1+1=2
          an+1=2(an-1+1)
          所以{an+1}是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列
          ∴an=2n-1
          解:(III)∵bn=(2n+1)an+2n+1
          ∴bn=(2n+1)2n
          ∴Tn=3•2+5•22+…+(2n+1)•2n
          2Tn=3•22+5•23+…(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1
          兩式相減可得,-Tn=3•2+2(22+23+…+2n)-(2n+1)•2n+1
          =6+2×
          4(1-2n-1)
          1-2
          -(2n+1)•2n+1
          =2n+1(1-2n)-2
          ∴Tn=2+(2n-1)2n+1
          點評:本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項及通項公式,等比數(shù)列的證明及通項公式的應用,錯位相減求數(shù)列的和是數(shù)列求和中的重點和難點.
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