Question

已知拋物線y²=8x的準(zhǔn)線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，若雙曲線的一條漸近線方程是y=2

2

x，且△FAB是直角三角形，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（　�。�

• A、

  x2

  16

  -

  y2

  2

  =1
• B、x2-

  y2

  8

  =1
• C、

  x2

  2

  -

  y2

  16

  =1
• D、

  x2

  8

  -y2=1

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線方程求得準(zhǔn)線方程，代入雙曲線方程求得y，根據(jù)漸近線方程求出a與b的關(guān)系，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知△FAB為等腰直角三角形，進(jìn)而可求得A或B的縱坐標(biāo)為4，進(jìn)而求得a和b，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得．

解答：解：依題意知拋物線的準(zhǔn)線x=-2．代入雙曲線方程得
y=±

b 4-a2

a

．雙曲線的一條漸近線方程是y=2

2

x，
∴

b

a

=2

2

則不妨設(shè)A（-2，2 

2

4-a2

），F(xiàn)（2，0）
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴2 

2

4-a2

=4，解得：a=

2

，b=4
∴c²=a²+b²=2+16=20，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

2

-

y2

16

=1
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)雙曲線的對(duì)稱性質(zhì)判斷出△FAB為等腰直角三角形，屬于基礎(chǔ)題．